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limx→0(tAnx%sinx/x^2ln(1+x))

用泰勒展开sinx=x - x/3! + x^5/5! + ……ln(1+x)=x - x/2 + x/3 + ……原式=lim ( - x/3! + x^5/5! + ……)/( x - x^4/2 + x^5/3 + ……) = -1/3

lim(x→0) (tanx-sinx)=0lim(x→0) (tanx-sinx)/x^2=lim(x→0) (tanx-sinx)'/(x^2)'=lim(x→0) (1/(cosx)^2-cosx)/2x=lim(x→0) (1/(cosx)^2-cosx)'/(2x)'=lim(x→0) (2sinx/(cosx)^3+sinx)/2=0

首先明确:lim(sinx)^x] (x→+无穷)时无极限,但其值恒属于[-1, 1] .而:limx^2ln(1+x) (x→+无穷)=+无穷 所以:lim[(sinx)^x]/x^2ln(1+x) (x→+无穷)=0 对lim[x^x]/x^2ln(1+x) (x→+无穷)=lim[x^(x-2)]/ln(1+x) (x→+无穷),分子分母都是正无穷大,可以用洛

用泰勒展开式:sinx=x-x^3/6+o(x^5)……tanx=x+x^3/3+o(x^5)……lim x→0(tanx-sinx)/x^3=lim x→0(x+x^3/3-x+x^3/6+o(x^5))/x^3=lim x→0(x^3/2+o(x^5))/x^3=1/2

原式=e^{lim(x->0)[ln(1/x)/cotx]}=e^{lim(x->0)[(x(-1/x))/(-cscx)]} (∞/∞性极限,应用罗比达法则)=e^{lim(x->0)[x*(sinx/x)]}=e^{lim(x->0)(x)*lim(x->0)(sinx/x)}=e^(0*1)=e^0=1.

lim(x→0) (x+ sinx)/tanx=lim(x→0) x/tanx+lim(x→0) sinx/tanx=1+1=2

(sinx)^x=e^[ln(sinx)^x]=e^[xln(sinx)]=e^[ln(sinx)/(1/x)]所以原式=lim(x->0) e^[ln(sinx)/(1/x)] 这是"∞/∞"型,用罗比达法则=lim(x->0) e^[(ctgx)/(-1/x^2)]=lim(x->0) e^[-(x^2)/(tanx)] 这是"0/0"型,继续用罗

=0(要么用基本定义,要么用洛必达法则,随便)

lim x→0+:x^sinx=lim x→0+:e^(sinxlnx)=e^[lim x→0+:sinxlnx]=e^[lim x→0+:xlnx]=e^[lim x→0+:lnx/(1/x)]=e^[lim x→0+:(1/x)/(-1/x^2)]=e^[lim x→0+:-x]=e^0=1

令三次根号下(1+x^2)=t,则t-1=(t-1)(t+t+1)分子分母同乘以(t+t+1)*[√(1+sinx)+1]得limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x)-1]*[√(1+sinx)-1]}=limx→0(sinx-tanx)/{[t-1]*[√(1+sinx)-1]}=limx→

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