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函数极限的局部有界性定理

若存在两个常数m和M,使函数y=f(x),x∈D,满足m≤f(x)≤M,x∈D .则称函数y=f(x)在D有界,其中m是它的下界,M是它的上界.“局部”:a>0,and 0<|x-x0|<a.有界性并不是在哪里都成立,只能在上述这个区间,所以叫做局部,只有这个区间局部

函数极限局部有界性,函数极限的一个性质,至于作用,举个例子:就像“三角形两边之和大于第三边”,你觉得个性质的用途在哪里?函数极限的唯一性有什么用?这些性质在于理解,理解函数极限的特征,硬是要说有什么用,作为函数极限的性质,它也能推出其他关于函数极限的性质,但大多数情况下它不是充分条件.至于你说的三个用法也可以,因题而异,涉及性质的题,一般是比较基础的题需要.

函数的局部有界性是指函数在极限点的邻域内有界,而在整个定义域上并不一定有界. 数列其实可以看作是一个离散的函数.但数列求极限是总是令n趋向于无穷大.而函数求极限则不然,因此数列的有界性是对于整个数列而言的.更直白的说,数列如果存在极限,那么它前面的有限项必然都是有限的数,所以肯定有界,而后面的无限多项由于极限的存在性所以也一定有界的.但是函数不具有这样的特性.

极限这个概念本身就是局部性质,函数在一点a的极限只能表示a点附近的性质,所以必然是局部性.事实上如果函数f(x)在点a有极限,那么必然存在点a的一个小邻域在其上函数f(x)是有界的,在邻域之外就不能保证了.举一个简单的

当X趋向于无穷时,函数极限的局部有界性定理:如果lim(x->∞)f(x)存在,则存在正数X,使得当|x|>X时,f(x)有界. 证明:设lim(x->∞)f(x)=A,则由"ε-X"定义知,对于ε=1,存在正数X,使得当|x|>X时,恒有 |f(x)-A|<ε=1, (1) 而|f(x)|=|(f(x)-A)+A|≤|f(x)-A|+|A| (2) 所以由(1)、(2)可知|x|>X时,有 |f(x)|≤|f(x)-A|+|A|<1+|A|, 因此,当|x|>X时,f(x)有界.求采纳

如果limf(x)=A(某个实数),则存在X>0,当|x|>X时,f(x)有界.证:因为limf(x)=A,所以存在X>0,当|x|>X时,有|f(x)-A|<1成立,此时|f(x)|=|f(x)-A+A|<=|f(x)-A|+|A|<1+|A|(1+|A|是某个确定的正数),即f(x)当|x|>X时有界.

局部和全局相对.局部说的是在某个小区间内.而全局说的是在整个定义域呢.例如1/x在(1,2)有界,但是在整个定义域内无界.他的一个应用:求极限、放缩,等等例如:lim x->m f(x)存在.则f(x)在m的某个邻域内局部有界.且limx->m g(x)=0则极限lim x->m f(x)g(x)=0因为有界量和无穷小的乘积为无穷小.

这里的 ”局部有界性“ 指的是函数的局部有界性,仔细看看定理咋说的.

函数的局部有界性是指函数在极限点的邻域内有界,而在整个定义域上并不一定有界. 数列其实可以看作是一个离散的函数.但数列求极限是总是令n趋向于无穷大.而函数求极限则不然,因此数列的有界性是对于整个数列而言的.更直白的说,数列如果存在极限,那么它前面的有限项必然都是有限的数,所以肯定有界,而后面的无限多项由于极限的存在性所以也一定有界的.但是函数不具有这样的特性.

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